約数と倍数２ 3つ以上の数の「最大公約数」と「最小公倍数」

 

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約数と倍数２について解説

算数の「約数」と「倍数」の解説

1. 約数とは？

ある数をちょうど割り切ることのできる数を 約数 といいます。
例えば 12 の場合を考えると：

• 12 ÷ 1 = 12 → 1 は約数

• 12 ÷ 2 = 6 → 2 は約数

• 12 ÷ 3 = 4 → 3 は約数

• 12 ÷ 4 = 3 → 4 は約数

• 12 ÷ 6 = 2 → 6 は約数

• 12 ÷ 12 = 1 → 12 は約数

したがって、12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。
ポイントは、「割って余りが出ない数」を探すことです。

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2. 倍数とは？

ある数に整数（1, 2, 3, …）をかけてできる数を 倍数 といいます。
例えば 4 の倍数は：

• 4 × 1 = 4

• 4 × 2 = 8

• 4 × 3 = 12

• 4 × 4 = 16

• 4 × 5 = 20

…と続きます。つまり、4, 8, 12, 16, 20, … が 4 の倍数です。
無限に続いていくのが特徴です。

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3. 約数と倍数の関係

• 「12 の約数」を見ると 1, 2, 3, 4, 6, 12 でした。

• 一方、「3 の倍数」を並べると 3, 6, 9, 12, 15, … となります。
  ここで、3 の倍数の中に 12 が含まれ、12 の約数の中に 3 がある ことが分かります。

つまり、

• 約数は “割り算で余りが出ない” 数

• 倍数は “かけ算でできる” 数
  という関係になっています。

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4. 覚えておくと便利なこと

• どんな整数にも必ず 1 とその数自身 は約数になる。

• 倍数は無限に続いていくが、約数は有限（数が限られている）。

• 約数と倍数を使うと、「最小公倍数」や「最大公約数」を求められる。

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「最大公約数」と「最小公倍数」についても解説

「最大公約数」と「最小公倍数」についてわかりやすく解説しますね。

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1. 最大公約数（Greatest Common Divisor, GCD）

定義

2つ以上の数に共通する約数の中で、いちばん大きい数を 最大公約数 といいます。

例

12 と 18 の場合を考えましょう。

• 12 の約数：1, 2, 3, 4, 6, 12

• 18 の約数：1, 2, 3, 6, 9, 18

共通しているのは 1, 2, 3, 6。
この中で一番大きいのは 6。
→ したがって、12 と 18 の最大公約数は 6 です。

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2. 最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）

定義

2つ以上の数に共通する倍数の中で、いちばん小さい数を 最小公倍数 といいます。

例

12 と 18 の場合を考えましょう。

• 12 の倍数：12, 24, 36, 48, 60, …

• 18 の倍数：18, 36, 54, 72, …

共通しているのは 36, 72, …
この中で一番小さいのは 36。
→ したがって、12 と 18 の最小公倍数は 36 です。

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3. 最大公約数と最小公倍数の関係

2つの数 A と B に対して、

$$A × B = （最大公約数） × （最小公倍数）$$

という関係が成り立ちます。

例（12 と 18）

• 12 × 18 = 216

• 最大公約数 = 6

• 最小公倍数 = 36
  → 6 × 36 = 216

ピッタリ一致します！

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4. 覚え方のコツ

• 最大公約数：割り算で考える（小さくしていくイメージ）

• 最小公倍数：かけ算で考える（大きくしていくイメージ）

• 公倍数はどんどん大きくなるけど、一番小さいものを探す。

• 公約数はどんどん小さくなるけど、一番大きいものを探す。

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👉

 
「最大公約数・最小公倍数を 素因数分解 を使って求める方法」についても解説しましょうか？

「最大公約数・最小公倍数を 素因数分解 を使って求める方法

！算数の中でとても便利な方法なので、しっかり解説しますね。

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素因数分解を使った「最大公約数」と「最小公倍数」の求め方

1. 素因数分解とは？

ある整数を 素数（2, 3, 5, 7, 11, …）だけのかけ算 に分けることを 素因数分解 といいます。

例

12 を素因数分解すると：

$$12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3$$

18 を素因数分解すると：

$$18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3^2$$

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2. 最大公約数の求め方

共通している素数を、より小さい指数（回数）で選ぶ。

例（12 と 18）

• 12 = $2^2 × 3^1$

• 18 = $2^1 × 3^2$

共通している素因数は 2 と 3。

• 2 は「$2^2$ と $2^1$」 → 小さい方は $2^1$。

• 3 は「$3^1$ と $3^2$」 → 小さい方は $3^1$。

したがって、

$$最大公約数 = 2^1 × 3^1 = 6$$

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3. 最小公倍数の求め方

出てきた素数を、より大きい指数（回数）で選ぶ。

例（12 と 18）

• 12 = $2^2 × 3^1$

• 18 = $2^1 × 3^2$

• 2 は「$2^2$ と $2^1$」 → 大きい方は $2^2$。

• 3 は「$3^1$ と $3^2$」 → 大きい方は $3^2$。

したがって、

$$最小公倍数 = 2^2 × 3^2 = 36$$

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4. ポイントまとめ

• 最大公約数 → 共通部分の「小さい指数」

• 最小公倍数 → 全体をカバーする「大きい指数」

• 素因数分解を使うと計算の手間が減り、特に大きな数で便利！

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✅ 次は「3つ以上の数（例：12, 18, 24）」の最大公約数や最小公倍数を素因数分解で求める方法も解説しましょうか？

「3つ以上の数（例：12, 18, 24）」の最大公約数や最小公倍数を素因数分解で求める方法も解説

！3つ以上の数の場合も、素因数分解を使えば同じ考え方で求められます。例として 12, 18, 24 を取り上げて説明しますね。

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3つ以上の数の「最大公約数」と「最小公倍数」

1. 各数を素因数分解する

まず、それぞれを素因数分解します。

• 12 = $2^2 × 3^1$

• 18 = $2^1 × 3^2$

• 24 = $2^3 × 3^1$

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2. 最大公約数の求め方

👉 すべての数に共通している素数 を取り、指数（回数）は「いちばん小さいもの」を選びます。

• 素因数 2：指数は 2（12）、1（18）、3（24） → 小さいのは 1

• 素因数 3：指数は 1（12）、2（18）、1（24） → 小さいのは 1

したがって：

$$最大公約数 = 2^1 × 3^1$$